Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是線段AB的中點

（1）求證：平面PDE⊥平面ABCD；
（2）設直線PC與平面PDE所成角為θ，求cosθ

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD⊥平面PAB，PE平面PAB，

∴AD⊥PE，

又∵△PAB是正三角形，E是線段AB的中點，∴PE⊥AB，

∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，

∵PE平面PED，∴平面PED⊥平面ABCD．

（2）解：以E為原點，在平面ABCD中過E作EB的垂直線x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空是直角坐標系，

則E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，﹣1，0），P（0，0， ），

=（2，﹣1，0）， =（0，0， ）， =（﹣1，﹣1，﹣ ），

設 =（x，y，z）為平面PDE的一個法向量，

由 ，取x=1，得 =（1，2，0），

設PC與平面PDE所成角為θ，

則sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

∴cos ．

【解析】（1）推導出AD⊥PE，PE⊥AB，由此能證明平面PED⊥平面ABCD．（2）以E為原點，在平面ABCD中過E作EB的垂直線x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空是直角坐標系，利用向量法能能求出cosθ．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．