Question

【題目】設復平面上點對應的復數 （為虛數單位）滿足，點的軌跡方程為曲線. 雙曲線:與曲線有共同焦點，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線的交點是、，，為坐標原點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）求直線的方程；

（3）設△PQR三個頂點在曲線上，求證：當是△PQR重心時，△PQR的面積是定值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）【方法一】根據橢圓的定義可知，結合，即可求得點的軌跡方程；【方法二】根據復數的性質，化簡即可得點的軌跡方程；（2）【方法一】根據雙曲線:與曲線有共同焦點，求得雙曲線的方程，進而可得雙曲線的漸近線方程，設直線的方程為，聯立漸近線方程與直線的方程，求得，的坐標，再根據，即可求得直線的方程；【方法二】聯立直線的方程與雙曲線的方程，結合韋達定理，再根據，即可求得直線的方程；（3）【方法一】設，，由是△PQR重心可得，根據，即可求得定值；【方法二】設、、，則有：，推出，代入到橢圓方程，結合，即可求得定值.

試題解析：（1）【方法一】由題意知，點的軌跡為橢圓.

∵

∴

∴點的軌跡方程為.

【方法二】由題意知，,整理得.

∴點的軌跡方程為

（2）【方法一】∵與有共同焦點

∴，即

∴雙曲線的方程為

∴雙曲線的漸近線方程

設直線的方程為.

聯立方程，得.

，，即直線的方程為.

【方法二】∵與有共同焦點

∴，即.

∴雙曲線的方程為

設直線的方程為，聯立方程得到.

∴

∴，即直線的方程為.

（3）【方法一】設,.

∵為的重心

（.

不妨設,則.

【方法二】設、、，則有：，代入橢圓方程得：.

所以 .