Question

（本小題滿分13分）如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

16．

（I）連接A₁C交AC₁于O，連接OD

∵四邊形AA₁C₁C為平行四邊形

∴O為A₁C中點

∵D為BC中點

∴ODA₁B

∵ODC平面AC₁D

∴A₁B//平面AC₁D

（II）∵ABC-A₁B₁C₁為直棱柱

∴BB₁⊥平面ABC

∴BB₁⊥AD

∵AB=AC

且D為BC中點

∴AD⊥BC

∴AD⊥平面BB₁CC₁

∴AD⊥CE

∵BB₁C₁C為正方形

D、E分別為各邊中點

∴CD=BE CC₁=BC

CE=C₁D

∴△CC₁D≌△CEB

∴∠2=∠3

∵∠1+∠2=90^o

∴∠1+∠3=90^o

∴C₁D⊥CE

∵AD⊥CE

∴CE⊥平面AC₁D

（III）過D作DE⊥AC于E，連C、E

∵CC₁⊥平面ABC

∴CC₁⊥DE

∵DE⊥AC

∴DE⊥平面，AA₁CC₁

∴設C-AC₁-D成角為α

∴

 

【解析】略