Question

已知函數(shù)f(x)=x²e^-ax(a＞0),求函數(shù)在［1，2］上的最大值.

Answer 1

當0＜a＜1時，f(x)的最大值為4e^-2a,當1≤a≤2時，f(x)的最大值為4a^-2e^-2,
當a＞2時，f(x)的最大值為e^-a.   

 ∵f（x）=x²e^-ax（a＞0）,
∴f′(x)=2xe^-ax+x²·（-a)e^-ax=e^-ax(-ax²+2x).                                3分
令f′(x)＞0,即e^-ax(-ax²+2x)＞0,得0＜x＜.
∴f(x)在（-∞,0),上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù).
①當0＜＜1,即a＞2時,f(x）在（1，2）上是減函數(shù),
∴f（x）_max=f（1）=e^-a.                                             8分
②當1≤≤2,即1≤a≤2時，
f(x)在（1, ）上是增函數(shù)，在（,2）上是減函數(shù)，
∴f(x)_max=f（）=4a^-2e^-2.                                           12分
③當＞2時，即0＜a＜1時，f(x)在（1，2）上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=4e^-2a.
綜上所述，當0＜a＜1時，f(x)的最大值為4e^-2a,
當1≤a≤2時，f(x)的最大值為4a^-2e^-2,
當a＞2時，f(x)的最大值為e^-a.                                      14分