Question

已知函數f（x）=

4x2+1

x

（x≠0）各項均為正數的數列{a_n}中a₁=1，

1

an+1

=f(an)，（n∈N^x）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在數列{b_n}中，對任意的正整數n，b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1都成立，設S_n為數列{b_n}的前n項和試比較S_n與

1

2

的大小．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意知

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4，結合等差數列的通項公式可求{

1

a 2 n

}是以1為首項4為公差的等差數列，結合a_n＞0，可求
數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1，利用裂項求和可求S_n，即可判斷S_n與

1

2

的大小．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

4x2+1

x

（x≠0），

1

an+1

=f(an)，
∴

1

an+1

=

4 a 2 n +1

an

⇒

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4，
又∵a₁=1，
∴{

1

a 2 n

}是以1為首項4為公差的等差數列，
∴

1

a 2 n

=4n-1，
∴a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

---------------------（6分）
（2）∵在數列{b_n}中，對任意的正整數n，b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1都成立，
∴bn=

a 2 n

(3n-1) a 2 n +n

=

1

(3n-1)+ n a 2 n

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

--------------（12分）

點評：本題目主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求通項公式，及數列的裂項求和方法的應用．