Question

已知圓，點，直線.

⑴求與圓相切，且與直線垂直的直線方程
⑵在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標.

Answer 1

（1）
（2）存在點對于圓上任一點，都有為常數。

⑴設所求直線方程為，即，
直線與圓相切，∴，得，
∴所求直線方程為
⑵方法1：假設存在這樣的點，
當為圓與軸左交點時，；
當為圓與軸右交點時，，
依題意，，解得，（舍去），或。
下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數。
設，則， 
∴，
從而為常數。                                  
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，
∴，將代入得，
，即
對恒成立，         
∴，解得或（舍去），
所以存在點對于圓上任一點，都有為常數。