Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）求的單調區間及極值.

Answer 1

【答案】（1）a＝－2，b＝2．（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意結合切線方程得到關于實數a,b的方程組，求解方程組可得a＝－2，b＝2；

(2)結合(1)的結果可得原函數的導函數為f ′(x)＝(ex－2)(x－1)，利用導函數研究原函數可得f (x)的增區間為(－∞，ln2)與(1，＋∞)，減區間為(ln2，1)，

f (x)的極大值為f (ln2)＝－(2－ln2)2，極小值為f (1)＝－e＋1.

試題解析：

（1）f ′(x)＝ex(x＋a＋1)－2x＋b，

由已知可得f (0)＝a＝－2，f ′(0)＝a＋b＋1＝1，解得a＝－2，b＝2．

（2）f ′(x)＝(ex－2)(x－1)，由f ′(x)＞0得x＜ln2或x＞1，由f ′(x)＜0得ln2＜x＜1，

∴f (x)的增區間為(－∞，ln2)與(1，＋∞)，減區間為(ln2，1)，

∴f (x)的極大值為f (ln2)＝－(2－ln2)2，極小值為f (1)＝－e＋1.