Question

若P是銳角△AOB所在的平面內的動點，且

OP

•

OB

=

OA

•

OB

．給出下列命題：
①|

OP

|=|

OA

|恒成立
②|

OP

|的最小值為|

OB

|
③點P的軌跡是一條直線
④存在P使|

PO

+

PB

|=|

OB

|
其中正確的命題個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：①由

OP

•

OB

=

OA

•

OB

，可得(

OP

-

OA

)•

OB

=0，利用向量垂直與數量積的關系可得：(

OP

-

OA

)⊥

OB

，|

OP

|=|

OA

|不一定成立；
②根據①，及由于△AOB是銳角三角形，可得|

OP

|＜|

OB

|；
③由①可知：

AP

⊥

OB

，可知：點P的軌跡是一條直線；
④當

PO

⊥

PB

時，以PO、PB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形，利用矩形的對角線的性質即可得出．

解答：解：①由

OP

•

OB

=

OA

•

OB

，可得(

OP

-

OA

)•

OB

=0，即(

OP

-

OA

)⊥

OB

，|

OP

|=|

OA

|不一定成立，因此不正確；
②根據①，及由于△AOB是銳角三角形，可得|

OP

|＜|

OB

|，因此②不正確；
③由①可知：

AP

⊥

OB

，因此點P的軌跡是一條直線，正確；
④當

PO

⊥

PB

時，以PO、PB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形，因此存在P使|

PO

+

PB

|=|

OB

|，正確．
綜上可知：只有③④正確．
故選：B．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、向量的平行四邊形法則、矩形的對角線的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．