Question

（2009•東營一模）設命題P：函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）在區間（1，2）上單調遞增；命題Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．

  3

  4

  ＜a≤1
• B．

  3

  4

  ≤a＜1
• C．0＜a≤

  3

  4

  或a＞1
• D．0＜a＜

  3

  4

  或a≥1

Answer 1

分析：求出f（x）的導數，令導數大于等于0在（1，2）上恒成立，求出a的范圍，即命題p為真命題時a的范圍；通過絕對值的集合意義求出|x-1|-|x+2|的最小值，令最小值小于0，求出a的范圍，即命題q為真命題時a的范圍；有復合命題的真假判斷出p，q的真假情況，求出a的范圍．

解答：解：∵f（x）=x+

a

x

，
∴f′（x）=

x2-a

x2

，
∵f（x）在（1，2）上單調遞增，
∴f′（x）=

x2-a

x2

≥0在（1，2）恒成立．
∴a≤1
即若p真則a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞

3

4

，
即若q真則有a＞

3

4

，
∵“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，
∴p，q中有一個真一個假，
所以當p真q假有

a≤1 a≤ 3 4

即0＜a≤

3

4

；
當p假q真有

a＞1 a＞ 3 4

即a＞1
故若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍：（0，

3

4

]∪（1，+∞）．
故選C．

點評：在已知函數單調求參數范圍時，采用的方法是求出導函數，令導函數大于等于0（小于等于0）恒成立、解決復合函數的真假問題常轉化為構成其簡單命題的真假問題解．