Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間和極值；

（Ⅱ）求證：當時，關于的不等式在區間上無解．（其中）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調遞增區間為，, 的單調遞減區間為．在處取得極大值，在處取得極小值．

（Ⅱ）見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出導函數，解方程，列出表格，確定的符號及的單調性，從而得出極大值和極小值；（Ⅱ）問題實質上就是證明在上的最大值小于或等于1．因此本小題實質就如第（Ⅰ）小題一樣，求在上的最大值即可（要注意函數在閉區間上的最值可能在區間端點處取得）．

試題解析：（Ⅰ）

因為,

所以，

當時，．

令，得，

所以隨的變化情況如下表：

		極大值		極小值

所以在處取得極大值，

在處取得極小值．

函數的單調遞增區間為，, 的單調遞減區間為．

（Ⅱ）證明：

不等式在區間上無解，等價于在區間上恒成立，

即函數在區間上的最大值小于等于1．

因為，

令，得．

因為時，所以．

當時，對成立，函數在區間上單調遞減，

所以函數在區間上的最大值為,

所以不等式在區間上無解；

當時，隨的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗

所以函數在區間上的最大值為或．

此時,，

所以 ．

綜上，當時，關于的不等式在區間上無解．