Question

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，且，當(dāng)時(shí)，．

（1）判斷的單調(diào)性，并加以證明；

（2）試問：當(dāng)時(shí)，是否有最值?如果有，求出最值；如果沒有，說明理由；

（3）解關(guān)于的不等式，其中．

Answer 1

【答案】（1）在上是減函數(shù)，證明見解析；（2）的最大值是，最小值是；（3）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．

【解析】

試題分析：（1）任意實(shí)數(shù)，且，不妨設(shè)，利用差比較法，計(jì)算，所以函數(shù)為減函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞減，所以有最大值，有最小值．利用賦值法求出；（3）化簡不等式得，由于為減函數(shù)，所以，．由于，或，所以當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為．

試題解析：

（1）在上是減函數(shù)，證明如下：對任意實(shí)數(shù)，且，不妨設(shè)，其中，則，

∴．故在上單調(diào)遞減．………………4分

（2）∵在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，有最大值，時(shí)，有最小值．在中，令，得，

故，，所以．

故當(dāng)時(shí)，的最大值是3，最小值是0．………………6分

（3）由原不等式，得，

由已知有，即．

∵在上單調(diào)遞減，∴，∴．………………9分

∵，∴或．

當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；

當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為．………………12分