Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為正三角形．

（1）求橢圓的離心率；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的面積的最大值為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）離心率；（2）．

【解析】

試題分析：（1）易得離心率；（2）由（1）可知，橢圓方程為，欲使的內(nèi)切圓面積最大，只需內(nèi)切圓半徑最大只需讓最大．設(shè)直線

．令

當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，即橢圓方程為．

試題解析： （1）離心率．

（2）由（1）可知，，設(shè)橢圓方程為，

因?yàn)?/span>的周長為定值．

又，

欲使的內(nèi)切圓面積最大，只需內(nèi)切圓半徑最大，只需讓最大．

設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，

得：，其中，

所以．

令，則，

當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，即，

由的內(nèi)切圓的面積的最大值為，知內(nèi)切圓半徑，所以．

所以橢圓方程為．