Question

【題目】如圖，正四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD的邊長為4，PD=4，E為PA的中點，

（1）求證：平面EBD⊥平面PAC；
（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC，BD交點為O，連結PO．則O為正方形ABCD的中心，

∴PO⊥平面ABCD．∵BD平面ABCD，

∴PO⊥BD．

∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．

又AC平面PAC，PO平面PAC，AC∩PO=O，

∴BD⊥平面PAC，又BD平面EBD，

∴平面EBD⊥平面PAC．

（2）解：以O為原點，以OA，OB，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，

∵正四棱錐的棱長為4，∴OA=OB=OD=2 ，OP= =2 ．

∴A（2 ，0，0），B（0，2 ，0），P（0，0，2 ），∴E（ ，0， ）．

∴ =（ ，﹣2 ， ）．

顯然x軸⊥平面PBD．∴ =（1，0，0）是平面PBD的一個法向量，

∴ = ，| |=1，| |=2 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴直線BE與平面PBD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）設AC，BD交點為O，連結PO，則PO⊥平面ABCD，于是PO⊥BD，又BD⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面EBD⊥平面PAC；（2）以O為原點，以OA，OB，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，則 =（1，0，0）為平面PBD的一個法向量，求出cos＜ ， ＞，則|cos＜ ， ＞|即為所求．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．