Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值為1．
（1）求a+b的值；
（2）若 恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

f（x）在區間（﹣∞，﹣b]上遞減，在區間[﹣b，+∞）上遞增，

所以f（x）min=a+b．

所以a+b=1．

（2）解：因為a＞0，b＞0，且a+b=1，

所以 ，

又因為 ，當且僅當 時，等號成立，

所以 時， 有最小值 ．

所以 ，所以實數m的最大值為

【解析】（1）寫出分段函數，得出f（x）min=a+b，即可求a+b的值；（2）因為a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代換，求最值，根據 恒成立，求實數m的最大值．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．