Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且b，a，c成等差數列，b≥c，已知B（-1，0），C（1，0）．   
（1）求頂點A的軌跡L；   
（2）是否存在直線m，使m過點B并與曲線L交于不同的兩點P、Q，且|PQ|恰好等于原點到直線m的距離的倒數？若存在，求出m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據b，a，c成等差數列可得b+c=2a即|AB|+|AC|=4＞|BC|=2再結合b≥c可得點A的軌跡L是左半個橢圓（去掉左頂點）然后根據橢圓的定義即可寫出點A的軌跡方程．
（2）可假設存在直線m滿足題意則根據弦長公式可知要求|PQ|需將直線m與曲線L的方程聯立消去y然后根據根與系數的關系求出x₁+x₂，x₁•x₂再代入弦長公式即可求出|PQ|但在寫出過點B的直線時吥不知斜率存在與否故需對直線m的斜率存在與否進行討論．
解答：解：（1）由題設知b+c=2a，|BC|=2
∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4
        又∵b≥c
∴由橢圓的定義知點A的軌跡L是左半個橢圓（去掉左頂點）即軌跡方程為：=1（-2＜x≤0）
    （2）假設存在直線m滿足題意
        ①當m斜率存在時設m的方程為y=k（x+1），把它代入橢圓方程，消去y得（4k²+3）x²+8k²x-12+4k²=0．
          設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）則x₁+x₂=-，x₁•x₂=
          又∵x₁≤0，x₂≤0
∴x₁x₂≥0
∴k²≥3，
∴|PQ|==
          設原點O到直線m的距離為d，則d=
∵|PQ|=
∴=
∴k²=＜3，這與k²≥3矛盾，表明直線m不存在
      ②當斜率不存在時m的方程為x=-1，此時|PQ|=|y₁-y₂|=3，d=1，|PQ|≠，
        所以不滿足題設
       綜上，滿足題設的條件不存在
點評：本題主要對直線與圓錐曲線的綜合問題的考察．解題的關鍵是第一問要求出點A所滿足的關系式|AB|+|AC|=4＞|BC|=2然后再根據橢圓的定義再結合限制條件即可求出點A的軌跡方程而對于第二問常用的解題思路是先假設這樣的直線m存在然后根據題中的條件看是否能求出此直線但再利用弦長公式求|PQ|時需將直線m與曲線L的方程聯立消去y然后根據根與系數的關系求出x₁+x₂，x₁•x₂故需對直線m的斜率的存在性進行討論！