Question

在△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c設向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

（Ⅰ）若sinA+sinB=

6

2

，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為1，且abx=a+b試確定x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩個向量共線的性質求得sin2A=sin2B，故A+B=

π

2

．再由sinA+sinB=

6

2

，求得sin(A+

π

4

)=

3

2

，可得A+

π

4

=

π

3

或A+

π

4

=

2π

3

，由此求得A的值．
（Ⅱ）由條件結合正弦定理可得 x=

sinA+sinB

2sinAsinB

，設 sinA+cosA=t，t∈（1，

2

），根據 x=

t

t2-1

=

1

t- 1 t

＞

2

，求得實數x的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

，所以，acosA=sinB．--------（1分）
由正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B．--------------（2分）
所以 2A+2B=π，即 A+B=

π

2

．-------（3分）
再由sinA+sinB=

6

2

，以及sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），可得 sin(A+

π

4

)=

3

2

．------（4分）
由于 A為銳角，故有A+

π

4

=

π

3

 或A+

π

4

=

2π

3

，∴A=

π

12

，或

5π

12

．------（6分）
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為1，且abx=a+b，則 x=

a+b

ab

，由正弦定理，得x=

sinA+sinB

2sinAsinB

．-----（8分）
設 sinA+cosA=t，t∈（1，

2

），則 t²=1+2sinAcosA，∴sinAcosA=

t2-1

2

，-----------（10分）
即 x=

t

t2-1

=

1

t- 1 t

＞

2

，所以實數x的取值范圍為(

2

，+∞)．---------（12分）

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，正弦定理兩角和差的正弦公式的應用，屬于中檔題．