Question

（2008•佛山二模）已知函數f（x）的自變量的取值區間為A，若其值域區間也為A，則稱A為f（x）的保值區間．
（1）求函數f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值區間；
（2）函數g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值區間？若存在，求出實數a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）=x²在[0，+∞）是增函數，f（n）=n²，即n²=n，由此求得n的值，從而求得函數的保值區間
（2）由題意可得a＞0，g(x)=

1 x -1，(0，1) 1- 1 x ，[1，+∞)

．當實數a，b∈（0，1）時，利用單調性可得a、b不存在．當實數a，b∈[1，+∞）時，可得不存在滿足條件的實數a，b．當a∈（0，1），b∈[1，+∞），可得a、b不存在，由以上得出結論．

解答：解：（1）∵f（x）=x²≥0，∴n≥0，又f（x）=x²在[0，+∞）是增函數，故f（n）=n²，n²=n，∴n=0，或 n=1．
∴函數f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值區間有[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）假設存在實數a，b使得函數g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值區間，
則a＞0，g(x)=

1 x -1，(0，1) 1- 1 x ，[1，+∞)

．
1⁰當實數a，b∈（0，1）時，g(x)=

1

x

-1，(0，1)，此時，g（x）為減函數，
故

g(a)=b g(b)=a

，即

1 a -1=b 1 b -1=a

，∴a=b與a＜b矛盾．
2⁰當實數a，b∈[1，+∞）時，
g(x)=1-

1

x

，∈[1，+∞)，此時，g（x）為為增函數，故

g(a)=a g(b)=b

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b

，
得方程1-

1

x

=x在[1，+∞）上有兩個不等的實根，而1-

1

x

=x，即x²-x+1=0無實根，
故此時不存在滿足條件的實數a，b．
3⁰當a∈（0，1），b∈[1，+∞），
∵1∈（a，b），而g（1）=0．
故此時不存在滿足條件的實數a，b．
綜上述，不存在實數a，b使得函數g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值區間．

點評：本題主要考查函數的定義域和值域的求法，函數的單調性的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．