Question

(12分）

如圖，三棱錐P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．

（Ⅰ） 求證：AB平面PCB；

（Ⅱ）求異面直線AP與BC所成角的大小；                                     

(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．  

                                                                                                                                                                      

                                                                          

Answer 1

解析：解法一：

(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．            …………………………2分

又，∴AB平面PCB．                      ……………………… 4分

(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角．………5分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．      ……………………………8分

（III）取AP的中點E，連結CE、DE．

∵PC=AC=2， ∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB， 由三垂線定理的逆定理，得  DEPA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．             …………………………………10分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

在中，PB=，

．

在中， cos=．

∴二面角C-PA-B大小的余弦值為.                 …………………………12分

解法二：（I）同解法一．                                           ………4分

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．

以B為原點，如圖建立坐標系．

則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），                                             

C（，０，0），P（，０，2）．                                               

，．…6分                                         

                                                                              

 則+0+0=2．                 

== ．

 ∴異面直線AP與BC所成的角為．                    …………………………8分

（III）設平面PAB的法向量為= (x，y，z)．

，，

則   即

解得   令= -1,  得 = (，0，-1)．          …………………10分

設平面PAC的法向量為=()．

，，

 則   即

解得   令=1,  得 = (1，1，0)．

=．

∴二面角C-PA-B大小的余弦值為．                      ……………………12分