Question

【題目】已知函數f(x)=x2++alnx.

（Ⅰ）若f(x)在區間[2,3]上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）設f(x)的導數f’(x )的圖象為曲線C ，曲線C 上的不同兩點A (x1, y1) ，B (x2,y 2) 所在直線的斜率為k ，求證：當a≤4時，|k|>1.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a≥-7；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)將單調性的問題轉化為恒成立的問題求解可得實數a的取值范圍是a≥-7；

(2)原問題等價于于||＞|x1-x2|，據此結合題意和絕對值不等式的性質即可證得題中的結論.

試題解析：

（Ⅰ）由f(x)=x2++aln x，得f'(x)=2x-+,

由已知得2x-+≥0在x∈[2,3]上恒成立，即a≥-2x2 恒成立.

設g (x)=-2x ，則g'(x )=--4x <0，所以g(x)在x∈[2,3]上單調遞減，

g(x)max =g(2)=-7，所以a≥-7.

（Ⅱ）證明:|k|＞1等價于||＞1，等價于||＞|x1-x2|,

而||=|

=|x1-x2|·|2+-|

所以只需要證明|2+-|＞1.

即a＜x1+x2+或a＞3x1+x2+，

而a＞3x1+x2+，顯然不可能對一切正實數x1x2 均成立，

所以只需要證a＜x1+x2+成立.

因為x1+x2+＞x1x2+，設t=,M(t)=t2+(t＞0)

得M’(t)=2t-當t=時M’(t)=0

在t∈（0，)上，M(t)遞減；在t∈（,+∞)上，M(t)遞增

所以M(t)≥3=＞4≥a，所以a＜x1x2+

所以||＞1，即當a≤4時，|K|＞1.