Question

【題目】設命題p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命題q：方程 =1表示焦點在x軸上的雙曲線．
（1）若當a=1時，命題p∧q假命題，p∨q”為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若命題p是命題q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，x2+（a﹣8）x﹣8a≤0，

即x2﹣7x﹣8≤0，解得：﹣1≤x≤8，

故p：﹣1≤m≤8，

若方程 =1表示焦點在x軸上的雙曲線，

則 ，解得：m＞5

故q：m＞5；

若命題p∧q假命題，p∨q”為真命題，

則p，q一真一假，

故 或 ，

解得：m∈[﹣1，5]∪（8，+∞）

（2）解：命題p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，

﹣a＜8即a＞﹣8時，p：[﹣a，8]，

﹣a＞8，即a＜﹣8時，p：[8，﹣a]，

q：m＞5，

若命題p是命題q的充分不必要條件，

即[﹣a，8]（5，+∞），或[8，﹣a]（5，+∞），

故﹣a＞5，解得：a＜﹣5

【解析】（1）分別求出p，q為真時的m的范圍，根據p，q一真一假，得到關于m的不等式組，解出即可；（2）通過討論a的范圍，得到關于m的不等式組，解出即可．
【考點精析】掌握復合命題的真假是解答本題的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．