Question

（2013•東坡區一模）我校開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響，已知某學生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08，選修甲和乙而不選修丙的概率為0.12，至少選修一門的概率為0.88，用ξ表示該學生選修課程門數和沒選修門數的乘積．
（1）記“ξ=0”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）設該生選修甲，乙，丙課程的概率依次為P₁，P₂，P₃，則由題意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，由此能求出事件A的概率．
（2）ξ=2的意義為選一門或選兩門．由事件的互斥性和獨立性能求出P（ξ=2）=0.76，由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設該生選修甲，乙，丙課程的概率依次為P₁，P₂，P₃，
則由題意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，
解得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，…（4分）
由題意可設ξ可能取的值為0，2，
ξ=0的意義為選三門或一門都不選．
因此P（ξ=0）=0.4×0.6×0.5+（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.24．
故事件A的概率為0.24．…（6分）
（2）ξ=2的意義為選一門或選兩門．
由事件的互斥性和獨立性可知
P（ξ=2）=0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5+0.6×0.4×0.5+0.4×0.6×0.5+0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5=0.76．…（9分）
結合（1）（2）可知隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	2
P	0.24	0.76

…（11分）
由此可得，所求數學期望為：Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．