Question

22．函數在區間（0，+∞）內可導，導函數是減函數，且 設是曲線在點（）處的切線方程，并設函數

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）證明：當x∈(0,+∞)時,g(x)≥f(x)；

   （Ⅲ）若關于的不等式上恒成立，其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.

Answer 1

22.（Ⅰ）解：

   （Ⅱ）證明：

令

  因為遞減，所以遞增，因此，當；

    當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

    對任意成立的充要條件是

    另一方面，由于滿足前述題設中關于函數的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率不大于，該切線的方程為

    于是的充要條件是

    綜上，不等式對任意成立的充要條件是          ①     

    顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

  ②

    有解.

解不等式②得

                          ③

    因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

       對任意成立的充要條件是      

    令，于是對任意成立的充要條件是

     由

    當時當時，，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即

    綜上，不等式對任意成立的充要條件是

             ①

    顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

  ②

    有解.

解不等式②得

    因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.