Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用定義證明；
（3）是否存在實數t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0對一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為（﹣∞，+∞），

則f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x），

則f（x）為奇函數．

（2）解：f（x）= = =1﹣ ，

則f（x）在R上的單調性遞增，

證明：設x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣（1﹣ ）=（ ﹣ ）= ，

∵x1＜x2，

∴ ＜ ，

∴ ﹣ ＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），即函數為增函數

（3）解：若存在實數t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0對一切x∈[1，2]恒成立，

則f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x）．

即x2﹣t2≥t﹣x．

即x2+x≥t2+t恒成立，

設y=x2+x=（x+ ）2﹣ ，

∵x∈[1，2]，

∴y∈[2，6]，

即t2+t≤2，

即t2+t﹣2≤0．

解得﹣2≤t≤1，

即存在實數t，當﹣2≤t≤1時使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0對一切x∈[1，2]恒成立．

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；（2）根據函數單調性的定義即可判斷f（x）在R上的單調性，并用定義證明；（3）結合函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化，利用參數分離法進行求解即可．