Question

下列命題中：
①“若x+y=0，則x²+y²=0”的逆命題
②若f（x）為R上的奇函數，x＞0時f（x）=2x+1，則x＜0時，f（x）=-2x+1
③若f（x）=x，x∈[1，4]，則函數y=f（x）+2f（x²）的最大值是36．其中正確的命題是

 

．

Answer 1

分析：①中，“若x+y=0，則x²+y²=0”的逆命題為“若x²+y²=0，則x+y=0”，由實數的性質易判斷其真假．
②中，若f（x）為R上的奇函數，當x＜0時，-x＞0時，則根據x＞0時f（x）=2x+1，我們易給出f（-x）的解析式，再根據f（-x）=-f（x）我們可得到x＜0時，f（x）的解析式．
③中，若f（x）=x，則f（x）在區間[1，4]為增函數，而函數y=f（x）+2f（x²）的定義域為[1，2]，且在區間[1，2]上也為增函數，則當x=2時，函數y=f（x）+2f（x²）有最大值，代入即可判斷③的真假．

解答：解：若x+y=0，則x²+y²=0”的逆命題為“若x²+y²=0，則x+y=0”
∵x²+y²=0時，x=y=0
∴x+y=0
故①正確；
當x＜0時，-x＞0時
∵x＞0時f（x）=2x+1，
∴f（-x）=2（-x）+1，
又∵f（x）為R上的奇函數
∴f（-x）=2（-x）+1=-f（x）
∴當x＜0時，f（x）=2x-1，故②錯誤
∵f（x）=x，x∈[1，4]，
∴函數y=f（x）+2f（x²）的定義域為[1，2]
且函數在區間[1，2]上為增函數，
故當x=2時，函數有最大值y=2+2×2²=10
故③錯誤
故答案：①

點評：本題考查的知識點是利用函數的奇偶性求分段函數的解析式，函數的最值，及四種命題真假的判斷，在求復合函數的最值時，我們要先分析函數的定義域及單調性，再根據單調性求函數的最值，但函數的定義域容易被忽略．