Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

1

2

AD．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）設E是棱PD上一點，且PE=

1

3

PD，求異面直線AE與PB所成的角．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標系，寫出有關的點及向量的坐標．（1）利用

a

•

b

?

a

⊥

b

，來證明線線垂直，從而證明線面、面面垂直；（2）先求出兩條異面直線的方向向量，進而利用向量的夾角即可求出異面直線所成的夾角．

解答：解：如圖，建立空間直角坐標系A-xyz．
∵PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°，
∴∠PBA=60°，∴PA=ABtan60°=

3

．
取AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，

3

），D（0，2，0）．
（1）∵

AC

=（1，1，0），

AP

=（0，0，

3

），

CD

=（-1，1，0），
∴

AC

•

CD

=-1+1+0=0，

AP

•

CD

=0．
∴AC⊥CD，AP⊥CD，
∵AC∩AP=A，
∴CD⊥平面PAC．
又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）∵

PE

=

1

3

PD

，

PD

=(0，2，-

3

)，
∴

OE

=

OP

+

1

3

PD

=（0，0，

3

）+

1

3

(0，2，-

3

)=(0，

2

3

，

2 3

3

)，
∴E（0，

2

3

，

2 3

3

），∴

AE

=（0，

2

3

，

2 3

3

）．
又

PB

=（1，0，-

3

），∴

AE

•

PB

=-2．
∴cos＜

AE

•

PB

＞=

AE • PB

| AE |•| PB |

=

-2

4 3 ×2

=-

3

4

．
∴異面直線AE與PB所成的角為arccos

3

4

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量和直線的方向向量等知識證明線線、線面、面面垂直和求出異面直線所成的夾角的方法是解題的關鍵．