Question

【題目】設Sn為數列{cn}的前n項和，an=2n ， bn=50﹣3n，cn= ．
（1）求c4與c8的等差中項；
（2）當n＞5時，設數列{Sn}的前n項和為Tn ．
（ⅰ）求Tn；
（ⅱ）當n＞5時，判斷數列{Tn﹣34ln}的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a4＜b4=38，∴c4=38，

∵b8＜a8=256，∴c8=256，

∴c4與c8的等差中項為 = ．

（2）解：（ⅰ）當n≤5時，an＜bn，

則S1=47，S2=91，S3=132，S4=170，S5=205，

當n=5時，an=bn，

則Sn=b1+b2+b3+b4+b5+a6+a7+…+an

=205+ =2n+1+141．

∴當n＞5時，Tn=47+91+132+170+205+（27+141）+（28+141）+…+（2n+1+141）

=645+ +141（n﹣5）=2n+2+141n﹣188．

（ⅱ）設dn=Tn﹣341n=2n+2﹣200n﹣188，

dn+1﹣dn=2n+2﹣200，

當n＞5時，2n+2﹣200＞0，

∴dn+1＞dn，

∴當n＞5時，數列{Tn﹣34ln}的單調遞增

【解析】1、根據等差中項的定義求得。
2、由題意分情況可得（ⅰ）當n≤5時，可證明當n=5時，an=bn，則Sn=b1+b2+b3+b4+b5+a6+a7+…+an=2n+1+141．當n＞5時，Tn==2n+2+141n﹣188。（ⅱ）設dn=Tn﹣341n=2n+2﹣200n﹣188，當n＞5時，2n+2﹣200＞0，∴dn+1＞dn，即可得證當n＞5時，數列{Tn﹣34ln}的單調遞增。

【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．