Question

（本題滿分14分）給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．
（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓的伴隨圓相交于M、N兩
點，求弦MN的長；
（3）點是橢圓的伴隨圓上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個公共點，求證：⊥.

Answer 1

解：（1）因為，所以，所以橢圓的方程為，
伴隨圓的方程為.                        ……………………………… 4分
（2）設直線的方程，由得 
由得，圓心到直線的距離為 
所以。                    ……………………………… 8分
（3）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，
因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，
當方程為時，此時與伴隨圓交于點
此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的另一條直線是(或，即為(或，顯然直線垂直；    
同理可證方程為時，直線垂直.          ……………………………… 10分
②當都有斜率時，設點其中，
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
由，消去得到，
即， ，
經過化簡得到：，
因為，所以有，
設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，
所以是關于的方程：的兩個實數根，
因而，即⊥.                         ……………………………… 14分

解析