Question

已知,
設.
(Ⅰ)求的表達式；
(Ⅱ)若函數(shù)和函數(shù)的圖象關于原點對稱，
（ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)l的取值范圍.

Answer 1

Ⅰ)；（Ⅱ）函數(shù)的解析式為= -sin²x+2sinx ；
（Ⅲ）。

解析試題分析：（Ⅰ)
   4分
（Ⅱ）設函數(shù)的圖象上任一點關于原點的對稱點為
則,  .5分
∵點在函數(shù)的圖象上
,即
∴函數(shù)的解析式為= -sin²x+2sinx      7分
（Ⅲ）
設   9分
則有
當時，(t)=4t+1在[-1,1]上是增函數(shù)，∴λ= -1   11分
當時，對稱軸方程為直線.
ⅰ) 時，，解得
ⅱ)當時，,解得
綜上:.
實數(shù)l的取值范圍為  14分
考點：本題主要考查平面向量的坐標運算，三角函數(shù)和差倍半公式的應用，二次函數(shù)圖象和性質。
點評：典型題，為研究三角函數(shù)的圖象和性質，往往需要將函數(shù)“化一”，這是常考題型。首先運用“三角公式”進行化簡，為進一步解題奠定了基礎。（3）小題利用“換元思想”，轉化成二次函數(shù)在閉區(qū)間的單調性研究問題，根據(jù)圖象對稱軸受到的限制，求得實數(shù)l的取值范圍。