Question

如圖，在半徑為、圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個長方形，并且與的平分線平行，設．

（1）試寫出用表示長方形的面積的函數；
（2）在余下的邊角料中在剪出兩個圓（如圖所示），試問當矩形的面積最大時，能否由這個矩形和兩個圓組成一個有上下底面的圓柱？如果可能，求出此時圓柱的體積．

Answer 1

（1）（2）.

解析試題分析：（1）由條件得，
從而      4分
（2）由（1）得，
所以當時，即取得最大值，為      7分
此時，，
所以為正方形，依題意知制成的圓柱底面應是由圍成的圓，
從而由周長，得其半徑為.    11分

另一方面，如圖所示，設圓與邊切于點，連結，
.
設兩小圓的半徑為，則，
且，從而所以，
因，
所以能作出滿足條件的兩個圓.此時圓柱的體積.……………16分
考點：本題主要考查三角函數模型，圓柱的體積計算，三角函數倍半公式。
點評：中檔題，結合圖形特征，利用直角三角形中的邊角關系，建立函數模型。確定函數最值過程中，可利用導數。