Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠PAC=30°，∠ACB=45°，BC=2 ，PA⊥AB．
（1）求PC的長；
（2）若點M在側棱PB上，且 ，當λ為何值時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，

以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA⊥AB，∴ =0，

∴（ ）（ ）= =0，

∵PC⊥平面ABC，∴ =0， =0，

∴﹣| || |cos∠ACB+| |2=0，

即﹣ ，

解得AC=2，

在Rt 中，PC=ACsin30°=

（2）解：B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2， ），

∵點M在側棱PB上，且 ，

∴M（ ， ， ），

設平面ACM的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（﹣ ），

平面ABC的一個法向量 =（0，0，1），

∵二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，

∴cos30°= = = =，

解得λ=1或λ=﹣1（舍），

∴當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．

【解析】（1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PC．（2）求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量，利用向量法能求出當λ=1時，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．