Question

【題目】如圖（1）所示，在中，是邊上的高，且，，是的中點．現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，得到的圖形如圖（2）所示．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意，先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得到平面，再由線面垂直的性質(zhì)，即可得出；

（2）以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，求出直線的方向向量，以及平面的一個法向量，由向量夾角公式，以及線面角與向量夾角的關(guān)系，即可得出結(jié)果.

（1）由圖（1）知，在圖（2）中，，，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，

∴；

（2）以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量，則，即，

令，得，，則是平面的一個法向量，

設(shè)直線與平面所成的角是，

則，

故直線與平面所成角的正弦值為．