Question

【題目】已知

（1）討論函數的單調性；

（2）若對任意，不等式恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）將不等式轉化為，令，可得，從而可以得到當函數在是減函數時一定成立，求得的范圍，再說明其他情況不成立，從而求得結果.

（1）因為，

所以，

當時, ，在上單調遞減;

當時,由，

解得在上單調遞減,

令，解得在上單調遞增;

當時,令 ，解得在上單調遞減,

令，解得在上單調遞增;

當時, 令 ，解得在上單調遞減,

令，解得在上單調遞增;

（2）由得，

令，且，

所以當函數在上是減函數時一定成立，

即在上恒成立，

因為，，所以在上恒成立，解得，

當時，令可得，

從而可得在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，不等式不恒成立，不滿足條件，

當時，在上恒成立，此時，不合題意，

綜上所述，可得的取值范圍是.