Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
（1）當a＞0時，用作差法證明：f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]；
（2）已知當x∈[0，1]時，|f（x）|≤1恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=ax2+x，

∴f（ ）﹣ [f（x1）+f（x2）]=

= = = ．

∵a＞0，又 ，∴ ，

∴f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]

（2）解：由題意，得﹣1≤ax2+x≤1對x∈[0，1]恒成立．

1°當x=0時，a∈R；

2°當x≠0時， ．

令 ∈[1，+∞），

記g（t）=t2﹣t≥0，∴a≤0，

h（t）=﹣t2﹣t≤﹣2，則a≥﹣2．

∴﹣2≤a≤0，又a≠0．

∴﹣2≤a＜0．

【解析】（1）把f（ ）、 [f（x1）+f（x2）]分別代入函數解析式，作差判斷差的符號證明f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]；（2）由|f（x）|≤1恒成立，得﹣1≤ax2+x≤1對x∈[0，1]恒成立，當x=0時，可得a∈R；當x≠0時，分離參數a得到 ，令 ∈[1，+∞），求出二次函數的最值可得實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．