Question

已知拋物線y²=4x，過點M（0，2）的直線l與拋物線交于A、B兩點，且直線l與x交于點C．
（1）求證：|MA|，|MC|、|MB|成等比數列；
（2）設

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，試問α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比數列，從而解決問題．
（2）由

MA

=α

AC

，

MB

=α

BC

得，(x1，y1-2)=α(-x1-

2

k

，-y1)，(x2，y2-2)=β(-x2-

2

k

，-y2)，從而利用x₁，x₂，及k來表示α，β，最后結合（1）中根系數的關系即得故α+β為定值．

解答：解：（1）設直線l的方程為：y=kx+2（k≠0），
聯立方程可得

y=kx+2 y2=4x

得：k²x²+（4k-4）x+4=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C(-

2

k

，0)，
則x1+x2=-

4k-4

k2

，x1•x2=

4

k2

②|MA|•|MB|=

1+k2

|x1-0|•

1+k2

|x2-0|=

4(1+k2)

k2

，
而|MC|2=(

1+k2

|-

2

k

-0|)2=

4(1+k2)

k2

，
∴|MC|²=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比數列（7分）
（2）由

MA

=α

AC

，

MB

=α

BC

得，(x1，y1-2)=α(-x1-

2

k

，-y1)，(x2，y2-2)=β(-x2-

2

k

，-y2)
即得：α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

，
則α+β=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β為定值且定值為-1（13分）

點評：本小題主要考查等比關系的確定、向量坐標的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．