Question

【題目】小明下班回家途經3個有紅綠燈的路口，交通法規定：若在路口遇到紅燈，需停車等待；若在路口沒遇到紅燈，則直接通過.經長期觀察發現：他在第一個路口遇到紅燈的概率為，在第二、第三個道口遇到紅燈的概率依次減小，在三個道口都沒遇到紅燈的概率為，在三個道口都遇到紅燈的概率為，且他在各路口是否遇到紅燈相互獨立.

（1）求小明下班回家途中至少有一個道口遇到紅燈的概率；

（2）求小明下班回家途中在第三個道口首次遇到紅燈的概率；

（3）記為小明下班回家途中遇到紅燈的路口個數，求數學期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據對立事件的概率關系結合已知，即可求解；

（2）設第二、三個道口遇到紅燈的概率分別為，根據已知列出關于方程組，求得，即可求出結論；

（3）的可能值為分別求出概率，得出隨機變量的分布列，由期望公式，即可求解.

（1）因為小明在三個道口都沒遇到紅燈的概率為，

所以小明下班回家途中至少有一個道口遇到紅燈的概率為；

（2）設第二、三個道口遇到紅燈的概率分別為，

依題意解得或（舍去），

所以小明下班回家途中在第三個道口首次遇到紅燈的概率；

（3）的可能值為，

，

，

，

，

分布列為