Question

【題目】己知橢圓上動點，點為原點.

（1）若，求證：為定值；

（2）點，若，求證：直線過定點；

（3）若，求證：直線為定圓的切線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）設，可求得，進而由在橢圓上，代入橢圓方程并整理可得，進而由，整理可得為定值；

（2）易知，直線的斜率存在，設其方程為，與橢圓方程聯立并消去，得到關于的一元二次方程，由，且直線的斜率均存在，可得到，將其展開并結合韋達定理，可用表示，進而可知直線過定點；

（3）當斜率都存在時，設出兩直線的方程，分別與橢圓方程聯立，可得到、的表達式，進而可設到直線的距離為，則，整理可得，即到直線的距離為定值；當的斜率有一個不存在時，可求得直線的方程，進而可求出圓心到直線的距離也為相同定值.

證明：（1）由題意，設，

則，

由在橢圓上，則，

代入得，，

整理得，，

因為，所以，

則，

∴為定值；

（2）易知，直線的斜率存在，設其方程為，，

聯立，消去得，，

則，，

由，且直線的斜率均存在，

，整理得，

因為，，

所以，，

整理得，，

所以，

整理得，，

即，所以，或，

因為，所以，所以直線恒過定點；

（3）當斜率都存在時，

設方程為，，

則方程為，

聯立，可得，

所以，

同理可得，

設到直線的距離為，即為斜邊上的高，

則，

故當斜率都存在時，到直線的距離為定值.

當的斜率有一個不存在時，此時直線為連接長軸和短軸端點的一條直線，方程為或，

點到直線的距離為.

綜上，原點到直線的距離為定值，即直線為定圓的切線.