Question

【題目】已知點P（x，y）是平面內的動點，定點F（1，0），定直線l：x=﹣1與x軸交于點E，過點P作PQ⊥l于點Q，且滿足 .

（1）求動點P的軌跡t的方程；

（2）過點F作兩條互相垂直的直線，分別交曲線t于點A,B，和點C，D.設線段AB和線段CD的中點分別為M和N，記線段MN的中點為K，點O為坐標原點，求直線OK的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y2=4x；（2）[，0）∪（0，].

【解析】

（1）利用直接法求軌跡方程，直接通過所給條件 列式整理可得y2=4x；

（2）設直線AB：x=my+1，聯立y2=4x，整理得y2﹣4my﹣4=0，利用韋達定理可得M點坐標（2m2+1，2m），同理可得N點坐標（，），可得k，整理即可得解.

（1）根據條件可知（x+1，y），（2，0），

（x﹣1，y），（﹣2，y），

因為 ，

所以2x+2=﹣2x+2+y2，即y2=4x，

所以P的軌跡方程為y2=4x；

（2）設直線AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立，整理得y2﹣4my﹣4=0，且y1+y2=4m，y1y2=﹣4，△=16（m2+1），

所以M（2m2+1，2m），同理，N（，），所以K（m21，m），

所以當k，

令t=m0，則k，

當t<0時，t（﹣t）﹣2，當且僅當t時取等號，

當t0時，t2，當且僅當t時取等號，

則k∈[，0）∪（0，].