Question

已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，集合B為函數y=x²-2x+a的值域，集合C={x|x²-ax-4≤0}，命題p：A∩B≠∅；命題q：A⊆C．
（1）若命題p為假命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題p∧q為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得A={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x²-ax-4≤0}，
（1）由命題p為假命題可得A∩B=∅，可求a
（2）由題意可得A∩B≠∅且A⊆C，結合集合之間的基本運算可求a的范圍

解答：解：∵y=x²-2x+a=（x-1）²+a-1≥a-1
∴A={x|x²-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x²-ax-4≤0}，
（1）由命題p為假命題可得A∩B=∅
∴a-1＞2
∴a＞3
（2）∵命題p∧q為真命題命題
∴p，q都為真命題
即A∩B≠∅且A⊆C．
∴

a-1≤2 1-a-4≤0 4-2a-4≤0

解可得0≤a≤3

點評：本題考查解決二次不等式的求解，二次函數值域的求解，集合的基本運算及復合命題的真假與構成其簡單命題真假的關系．