Question

已知函數，設曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數，滿足．
（1）求；
（2）設，，求函數在上的最大值；
（3）設，若對于一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）三次函數的導數是二次函數，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導數的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2），畫出函數圖象考察其單調性，根據其單調區間對的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進行化簡，得恒成立，即，且，對任意的成立，然后又轉化為求函數的最值問題，要注意，從而有.
試題解析：（1），∵，
∴函數的圖象關于直線對稱，，             2分
∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為，
∴，解得，則                5分
（2）∵，
∴，其圖象如圖                      7分
當時，，
當時，，
當時，，

綜上                                  10分
（3），，
當時，，所以不等式等價于恒成立，
解得，且，                                            13分
由，得，，所以，
又，∵，∴所求的實數的的取值范圍是       16分