Question

已知點點分別是軸和軸上的動點，且，動點滿足，設動點的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點，且，過M,N兩點分別作曲線E的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

Answer 1

(1);(2).

試題分析：(1)設,利用,用表示的坐標，然后利用,得到的方程，得到點軌跡;
（2）解法一：利用曲線方程,求出點坐標，設，，,通過聯立方程，得到的坐標，利用導數，列出過點的切線方程，解出點的坐標，然后再求的最小值，
解法二：利用導數，列出過點的切線方程，解出點的坐標，然后結合,能夠得到關于點所滿足的方程，再求出的最小值.
試題解析：（1）解：設
，由得     4分
（2）解法一：易知，設，，，
設的方程為
聯立方程消去，得，所以.
同理，設的方程為，.      6分
對函數求導，得，
所以拋物線在點處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點處的切線的方程為.     8分
聯立兩條切線的方程
解得，，
所以點的坐標為.因此點在直線上. 10分
因為點到直線的距離，
所以，當且僅當點時等號成立．
由，得，驗證知符合題意.
所以當時，有最小值.      12分
解法二：由題意，，設，，，
對函數求導，得，
所以拋物線在點處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點處的切線的方程為.
聯立兩條切線的方程
解得，，      8分
又
由得
所以點在直線上      10分
因為點到直線的距離，
所以，當且僅當點時等號成立．
有最小值.      12分