Question

如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為2，過C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

（1）若直線PQ過定點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于第（1）問的點(diǎn)A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個(gè)數(shù)；若不能，說明理由.

Answer 1

（1）,（2）一個(gè)

試題分析：（1）確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程只需一個(gè)獨(dú)立條件，本題條件為已知通徑長(zhǎng)所以拋物線的方程為.直線過定點(diǎn)問題，實(shí)際是一個(gè)等式恒成立問題.解決問題的核心是建立變量的一個(gè)等式.可以考慮將直線的斜率列為變量，為避開討論，可設(shè)的方程為，與聯(lián)立消得，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，代入化簡(jiǎn)得：因此，點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）若三角形APQ為等腰直角三角形，則的中點(diǎn)與點(diǎn)A連線垂直于.先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再討論方程解的個(gè)數(shù)，這就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)增減性，并利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)有且只有一個(gè).
試題解析：(1)設(shè)拋物線的方程為,依題意,,
則所求拋物線的方程為.                  (2分)
設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點(diǎn),即,代入上式得
注意到上式對(duì)任意都成立,
故有,從而點(diǎn)坐標(biāo)為.                (8分)
(2)假設(shè)存在以為底邊的等腰直角三角形,由第（1）問可知,將用代換得直線的方程為.設(shè),
由消,得.
∴ ,.
∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即,
∵,∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由已知得,即.
設(shè),則,
在上是增函數(shù).又,,
在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),
所以滿足條件的等腰直角三角形有且只有一個(gè).            (12分)