Question

已知實(shí)數(shù)a＜b＜c，設(shè)方程

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），則下列關(guān)系中恒成立的是（　　）

A．a(chǎn)＜x₁＜b＜x₂＜c

B．x₁＜a＜b＜x₂＜c

C．a(chǎn)＜x₁＜x₂＜b＜c

D．a(chǎn)＜x₁＜b＜c＜x₂

Answer 1

分析：將原分式方程變形為整式方程（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）=0，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理考察函數(shù)f（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）零點(diǎn)情況，作出判斷．

解答：解：方程

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0即為

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)(x-a)(x-b)

(x-a)(x-b)(x-c)

=0，
∴（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）=0，
令f（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b），
∵a＜b＜c，則
f（a）=（a-b）（a-c）＞0，
f（b）=（b-a）（b-c）＜0，
f（c）=（c-a）（c-b）＞0，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得出在（a，b），（b，c）上函數(shù)f（x）各有零點(diǎn)，所以a＜x₁＜b＜x₂＜c．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程知識，考察數(shù)形結(jié)合的思想方法，轉(zhuǎn)化思想．