Question

【題目】設是正項數列的前項和，且.

（Ⅰ）求數列通項公式；

（Ⅱ）是否存在等比數列，使對一切正整數都成立？并證明你的結論.

（Ⅲ）設（），且數列的前項和為，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：由的表達式求通項公式，利用時， ，轉化為關于的關系式，把一般數列轉化為特殊數列，求出通項公式；對于同樣的辦法求出，借助求出，并證明.求出，利用錯位相加法求出前項和并比較大小.

試題解析：（Ⅰ）由

得，

相減并整理得

又由于，

則，故是等差數列．

因為 ，

所以

故．

（Ⅱ）當，2時， ， ，

可解得， ，

猜想 使 成立．

證明： 恒成立．

令 ……①

……②

②﹣①得：

，

故存在等比數列符合題意．

（Ⅲ）

則

故．