Question

【題目】在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n ．
（1）設bn= ．證明：數列{bn}是等差數列；
（2）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2an+2n．兩邊同除以2n得

∴ ，即bn+1﹣bn=1

∴{bn}以1為首項，1為公差的等差數列

（2）解：由（1）得

∴an=n2n﹣1

Sn=20+2×21+3×22+…+n2n﹣1

2Sn=21+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n

∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n2n

=

∴Sn=（n﹣1）2n+1

【解析】（1）由an+1=2an+2n構造可得 即數列{bn}為等差數列（2）由（1）可求 =n，從而可得an=n2n﹣1 利用錯位相減求數列{an}的和
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差關系的確定的相關知識，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．