Question

【題目】設(shè)f（x）=xex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=（x+1）2 ． （I）記 ．
（i）討論函數(shù)F（x）單調(diào)性；
（ii）證明當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)（﹣1+m）＞F（﹣1﹣m）恒成立；
（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），設(shè)函數(shù)G（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = （x≠﹣1）， （i）F′（x）= = ，…
所以，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)減；
當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)增； …
（ii）F（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m）= ﹣ = （ e2m+1），
令φ（m）= e2m+1=e2m﹣ +1（m＞0），
φ′（m）=2e2m﹣ = ＞0，…
所以φ（m）在m＞0遞增，即有φ（m）＞φ（0）=0，又 ＞0，
所以m＞0時(shí)，F(xiàn)（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m）= （ e2m+1）＞0恒成立，即
當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)（﹣1+m）＞F（﹣1﹣m）恒成立．
（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2 ，
G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2）．
①當(dāng)a=0時(shí)，G（x）=（x+1）2 ， 有唯一零點(diǎn)﹣1；
②當(dāng)a＞0時(shí)，aex+2＞0，所以
當(dāng)x＜﹣1時(shí)，G′（x）＜0，G（x）單調(diào)減；
當(dāng)x＞﹣1時(shí)，G′（x）＞0，G（x）單調(diào)增．
所以G（x）極小值為G（﹣1）=﹣ ＜0，
因G（0）=1＞0，所以當(dāng)x＞﹣1時(shí)，G（x）有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)x＜﹣1時(shí)，ax＜0，ex＜ ，所以axex＞ ，
所以G（x）＞＞ +（x+1）2=x2+（2+ ）x+1，
因?yàn)椋?+ ）2﹣4×1×1= +（ ）2＞0，
所以，t1 ， t2 ， 且t1＜t2 ， 當(dāng)x＜t1 ， 或x＞t2時(shí)，使x2+（2+ ）x+1＞0，
取x0∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣∞，t1），則G（x0）＞0，從而可知
當(dāng)x＜﹣1時(shí)，G（x）有唯一零點(diǎn)，
即當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)G（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
③當(dāng)a＜0時(shí)，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣ ）），由G′（x）=0，得x=﹣1，或x=ln（﹣ ）．
①若﹣1=ln（﹣ ），即a=﹣2e時(shí)，G′（x）=﹣2e（x+1）（ex﹣ ）≤0，
所以G（x）是單調(diào)減函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)；
②若﹣1＞ln（﹣ ），即a＜﹣2e時(shí)，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣ ）），
注意到y(tǒng)=x+1，y=ex+ ，都是增函數(shù)，
所以，當(dāng)x＜ln（﹣ ）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)ln（﹣ ）＜x＜﹣1時(shí)，G′（x）＞0，G（x）是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)x＞﹣1時(shí)，G′（x）＜0，G（x）是單調(diào)減函數(shù)．
G（x）的極小值為G（ln（﹣ ））=aln（﹣ ）（﹣ ）+（ln（﹣ ）+1）2=ln2（﹣ ）+1＞0，
所以G（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)；
③若﹣1＜ln（﹣ ），即0＞a＞﹣2e時(shí)，同理可得
當(dāng)x＜﹣1時(shí)，G′（x）＜0，G（x）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)﹣1＜x＜ln（﹣ ）時(shí)，G′（x）＞0，G（x）是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)x＞ln（﹣ ）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）是單調(diào)減函數(shù)．
所以G（x）的極小值為G（﹣1）=﹣ ＜0，G（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，若函數(shù)G（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則參數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．
【解析】（Ⅰ）（i）求出F（x0的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（ii）作差可得F（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m），令φ（m）= e2m+1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性即可得證；（Ⅱ）由已知，求得G（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a=0，a＞0，a＜0，運(yùn)用單調(diào)性，求出G（x）的極小值，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到所求a的范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．