Question

有一種密碼，明文是由三個字母組成，密碼是由明文對應的五個數字組成，編碼規則如下表，明文由表中每一排取一個字母組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數字按相同次序排列組成；（如：明文取的是三個字母為AFP，則與他對應的五個數字（密碼）就為11223．）

第一排	字符	A	B	C
	字符	11	12	13
第二排	字符	E	F	G
	字符	21	22	23
第三排	字符	M	N	P
	字符	1	2	3

（Ⅰ）假設明文是BGN，求這個明文對應的密碼；
（Ⅱ）設隨機變量ξ表示密碼中不同數字的個數，
①求P（ξ=2）；
②求ξ的概率分布列和它的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,進行簡單的合情推理

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由明文是BGN，且B對應的數字是12，G對應的數字是23，N對應的數字是2，能求出明文BGN對應的密碼．
（Ⅱ）①ξ=2表示密碼中只有兩個不同的數字，從而只能取表格的第一、二列中的數字作密碼，由此能求出P（ξ=2）．
②由已知得ξ的可能取值為2，3，分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）∵明文是BGN，且B對應的數字是12，G對應的數字是23，N對應的數字是2，
∴明文BGN對應的密碼是12232．
（Ⅱ）①∵ξ=2，∴密碼中只有兩個不同的數字，
注意到密碼的第一、二列只有數字1，2，
故只能取表格的第一、二列中的數字作密碼，
∴P（ξ=2）=

23

33

=

8

27

．
②由已知得ξ的可能取值為2，3，
P（ξ=2）=

23

33

=

8

27

，
P（ξ=3）=1-

8

27

=

19

27

，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3
P	8 27	19 27

Eξ=2×

8

27

+3×

19

27

=

73

27

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．