Question

【題目】已知函數．

（）當時，求的單調區間．

（）當時，求函數在區間上的最小值．

（）在條件（）下，當最小值為時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時， 的單調區間為，單調減區間是，當時， 的單調增區間為和，單調減區間是；當時， 的單調增區間是；當時， 的單調增區間是和，單調減區間是；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（2）分三種情況討論的范圍，分別利用導數研究函數的單調性，根據單調性可求得函數在區間上的最小值；（3）分三種情況討論的范圍，分別利用導數求出函數的最小值，排除不合題意的情況，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

試題解析：（ ）由函數可知，

函數的定義域是，且，

當時， ，

令，得；令，得，

∴的單調增區間為，單調減區間是；

當時，令得或，

若，即，則恒成立，∴在上單調遞增，

若，即，則和時， ，當時， ，

∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

若，即，則和時， ，當時， ，

∴在和上單調遞增，在上單調遞減，

綜上所述，當時， 的單調區間為，單調減區間是，

當時， 的單調增區間為和，單調減區間是；

當時， 的單調增區間是；

當時， 的單調增區間是和，單調減區間是．

（）由（）可知，當，即時， 在上單調遞增，

∴在上的最小值是；

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

∴在上的最小值是，

當時，即時， 在上單調遞減，

∴在的最小值是，

綜上所述，當時， 在上的最小值是；

當時， 在上的最小值是；

當時， 在上的最小值是．

（）由（）可知，當時， 在上單調遞增，

∴在上的最小值是；

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

∴在上最小值是；

當時， 在上單調遞減，

∴在上的最小值是；

綜上，若在區間上的最小值是，則，

故的取值范圍是．