Question

【題目】對于區間[a,b](a<b),若函數同時滿足：①在[a,b]上是單調函數，②函數在[a,b]的值域是[a,b]，則稱區間[a,b]為函數的“保值”區間

（1）求函數的所有“保值”區間

（2）函數是否存在“保值”區間？若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由已知中的保值區間的定義，結合函數的值域是，可得，從而函數在區間上單調，列出方程組，可求解；

（2）根據已知保值區間的定義，分函數在區間上單調遞減和函數在區間單調遞增，兩種情況分類討論，即可得到答案.

（1）因為函數 的值域是，且在的最后綜合討論結果，

即可得到值域是 ，所以，所以，從而函數在區間上單調遞增，

故有，解得 .

又 ，所以.所以函數的“保值”區間為 .

（2）若函數存在“保值”區間，則有：

①若，此時函數在區間上單調遞減，

所以 ，消去得，整理得 .

因為，所以 ，即.又 ，所以.

因為 ，所以.

②若 ，此時函數在區間上單調遞增，

所以，消去 得，整理得.

因為，所以，即.

又 ，所以.

因為 ，所以 .

綜合①、②得，函數存在“保值”區間，此時的取值范圍是.