Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求 a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1，再用數學歸納法進行證明．

解答： 解：（1）分別令n=1，2，3，得

2a1=a12+1 2(a1+a2)=a22+2 2(a1+a2+a3)=a32+3

∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的結論：猜想a_n=n
（ⅰ）當n=1時，a₁=1成立；
（ⅱ）假設當n=k（k≥2）時，a_k=k．
那么當n=k+1時，
[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
這就是說，當n=k+1時也成立，
∴a_n=n（n≥2）．顯然n=1時，也適合．
綜合（1）（2）可知對于n∈N^*，a_n=n都成立．

點評：本題主要考查數學歸納法的應用，由數列的前n項和求通項公式，屬于中檔題．