Question

設a>0，a≠1，解關于x的不等式

Answer 1

當0<a<1時，原不等式的解集為
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
當a>1時，原不等式的解集為  {x|－∞<x<＋∞}．．

本小題考查指數函數性質、解不等式及綜合分析能力．滿分12分．
解法一 原不等式可寫成   ．              ①       ——1分
根據指數函數性質，分為兩種情形討論：
(Ⅰ)當0<a<1時，由①式得
x⁴－2x²+a²<0，                                    ②             ——3分
由于0<a<1時，判別式
△=4－4a²>0,
所以②式等價于

③ ④

                                                ——5分

解③式得x<－或x>，
解④式得－<x<．                        ——7分
所以，0<a<1時，原不等式的解集為
{x|－<x<－}∪{x|<x<}．
——8分
(Ⅱ) 當a>1時，由①式得
x⁴－2x²＋a²>0，                              ⑤                 ——9分
由于a>1，判別式△<0，故⑤式對任意實數x成立，即得原不等式的解集為
{x|－∞<x<＋∞}．                                               ——12分
綜合得
當0<a<1時，原不等式的解集為
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
當a>1時，原不等式的解集為
{x|－∞<x<＋∞}．
解法二 原不等式可寫成 ．    ①                  ——1分
(Ⅰ) 當0<a<1時，由①式得
x⁴－2x²＋a²<0，                             ②                  ——3分
分解因式得  (x²－1＋)(x²－1－)<0． ③

④ ⑤

即                             

⑥⑦

或                                          ——5分

解由④、⑤組成的不等式組得
－<x<－．
或 <x< ．                            ——7分
由⑥、⑦組成的不等式組解集為空集；所以，0<a<1時，原不等式的解集為
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
——8分
(Ⅱ) 當a>1時，由①式得
x⁴－2x²＋a²>0，                          ⑧                    ——9分
配方得  (x²－1)²＋a²－1>0，                  ⑨
對任意實數x，不等式⑨都成立，即a>1時，原不等式的解集為
{x|－∞<x<＋∞}．                                              ——12分
綜合得
當0<a<1時，原不等式的解集為
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
當a>1時，原不等式的解集為  {x|－∞<x<＋∞}．